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科學人 9月號/2011 第115期買到賺到

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數學是發明還是發現？

在各領域都如此有用的數學，是人類發明的工具？還是人類發現的寶藏？

撰文╱利維歐（Mario Livio）　翻譯╱翁秉仁

■ 最深刻的謎團往往存在於我們最習以為常的事物。大多數人從不曾細思科學家為何用數學來描述並解釋世界，但究竟為何如此？
■ 數學概念的發展雖然純粹是基於抽象的理由，卻能解釋真實現象。正如物理學家魏格納所言，如此好用的數學「是我們既不能理解也不配擁有的美好禮物。」
■ 謎團之一是：數學是發明（人類心智的創造）還是發現（獨立於我們的存在物）？作者認為兩者皆是。

大多數人認為數學有用是理所當然，像是科學家以數學公式來描述次原子事件、工程師用數學計算太空船的路徑。我們接受最先由伽利略倡議的觀點：數學是科學的語言，其文法可以解釋實驗結果，甚至預測奇特的現象。數學驚人的威力處處可見，譬如蘇格蘭物理學家馬克士威（James Clark Maxwell）的著名方程組，他的四個算式不只總結了1860年代所有已知的電磁現象，並且預示了無線電波的存在，比德國物理學家赫茲（Heinrich Hertz）偵測到它還早了20年。極少語言這麼有效率，能將具有價值的眾多材料，如此簡潔、精確又清楚地表達出來。愛因斯坦曾反思說：「數學做為人類思想的產物，獨立於經驗之外，怎麼可能和現實世界配合得如此天衣無縫？」

身為一位理論天文物理學家，我在每一個工作環節都會遇到「數學不合理的有效性」（unreasonable effectiveness of mathematics），這是1960年諾貝爾物理獎得主魏格納（Eugene Wigner）的用語。不論我是在研究哪些前身恆星系統會爆炸成Ia型超新星，或者計算太陽最終變成紅巨星時地球的命運，我所使用的工具或發展的模型都是數學。數學掌握自然世界的不可思議特質，讓我始終著迷。在10年前，我對這個課題有了更深刻的想法。

數學家、物理學家、哲學家、認知科學家，早已為這個謎團的核心議題，爭論了數百年。數學到底是如愛因斯坦所相信的，是一組發明出來的工具？還是數學確實存在於某個抽象的場域，而我們只是發現其中的真理？許多著名數學家，包括希爾伯特（David Hilbert）、康托（Georg Cantor），還有暱稱為布爾巴基（Bourbaki）的一群數學家，他們相信愛因斯坦的看法，相關的思想學派稱為形式主義（Formalism）。但是另一群傑出的思想家，包括哈迪（Godfrey Harold Hardy）、彭若斯（Roger Penrose）、哥德爾（Kurt G鐰el）則持對立的看法，這個思想學派稱為柏拉圖主義（Platonism）。

這項數學本質的爭論延續至今，似乎仍然很難解答。不過我相信，這是因為我們過度簡單的二分法提問「數學是發現還是發明？」，反而忽略了比較複雜的可能性：發明和發現都扮演了重要的角色。我認為兩者合起來才能解釋數學為什麼這麼有用。雖然消除發明與發現的對立性，並不能全然解釋數學不合理的有效性，但針對這個影響深遠的問題，即使是不完整的一小步，仍算有所進展。

【欲閱讀更豐富內容，請參閱科學人2011年第115期9月號】